复数的四则运算实例

概要：|+|b|=。(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。 例2．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。 解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。 |Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离； ，∴ , 。例3．计算： 解：原式= 例4．求的平方根。解：设的平方根为x+yi (x,y∈R)，则 由复数相等的定义得 (1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25 x2+y2=5 (舍去负值)........(3) (1)+(3)，x2=3, x=, (3)-(1), y2=2, 。∵ ，∴ 或 ∴ 的平方根为。 例5．已知：，求实数x。 解： 即或x≥8。 例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。 解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。 (1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。 (2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1，F2。 (3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。

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例1．已知a∈R，方程x²+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。

　　解：∵ a∈R，∴ 方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。
　　(1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。
　　由韦达定理
　　又∵ |a|+|b|≥0，
　　∴
　　　　　　　　
　　①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2,
　　②当a<0时，|a|+|b|=。
　　(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。
　　

　　例2．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。

　　解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。
　　|Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；
　　，
　　∴ , 。　　例3．计算：

　　解：原式=
　　　　　　

　　例4．求的平方根。

　　解：设的平方根为x+yi (x,y∈R)，
　　则
　　　
　　由复数相等的定义得
　　(1)²+(2)²，得(x²+y²)²=25
　　　　　　　　　x²+y²=5 (舍去负值)........(3)
　　(1)+(3)，x²=3, x=,
　　(3)-(1), y²=2, 。
　　∵ ，∴ 或
　　∴ 的平方根为。

　　例5．已知：，求实数x。

　　解：
　
　　
　　即或x≥8。


　　例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R⁺)表示的曲线。

　　解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，
　　几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F₁(-1,0)，F₂(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F₁F₂|=3。
　　(1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F₁，F₂为焦点，2a为长轴的椭圆。
　　(2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F₁，F₂。
　　(3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。