高考解答题中的导数应用

概要：）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 解：（I）（略解） 。 （II），令y'=0，得。 当时，是该函数唯一的极值点。 ∴ 当时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。 当时，而v∈(0,c]，所以，此时y'<0，∴ 在v∈(0,c]为减函数，∴ 当v=c时全程运输成本最低。 综上所述，当时，全程的运输成本最小；当时，v=c全程运输成本最低。 例3．（历年高空真题）设，求a的值使得f(x)为单调函数。 解：，要使f(x)在R上为单调函数，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。 （1）当f'(x)>0时，即在R上恒成立， 而当x→∞时，，所以这样的a不存在。 （2）当f'(x)<0时，即在R上恒成立，而，所以只需a≥1即可。 ∴ 当a≥1时，f(x)为减函数。 由上讨论可知，当a>1时f(x)为单调函数。 例4．（历年高空真题）设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空

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例1．（历年高空真题）根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x³+1在（-∞，+∞）上为减函数。

　　分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x²0, ∴ f(x)=-x³+1在（-∞，+∞）上为减函数。

　　例2．（历年高空真题）甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。
　　（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
　　（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

　　解：（I）（略解） 。
　　（II），令y'=0，得。
　　　　　当时，是该函数唯一的极值点。
　　∴ 当时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。
　　　 当时，而v∈(0,c]，所以，此时y'<0，
　　∴ 在v∈(0,c]为减函数，∴ 当v=c时全程运输成本最低。
　　综上所述，当时，全程的运输成本最小；当时，v=c全程运输成本最低。

　　例3．（历年高空真题）设，求a的值使得f(x)为单调函数。

　　解：，要使f(x)在R上为单调函数，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。
　　（1）当f'(x)>0时，即在R上恒成立，
　　　　 而当x→∞时，，所以这样的a不存在。
　　（2）当f'(x)<0时，即在R上恒成立，而，所以只需a≥1即可。
　　　　 ∴ 当a≥1时，f(x)为减函数。
　　由上讨论可知，当a>1时f(x)为单调函数。

　　例4．（历年高空真题）设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用的纸张面积最小？如果要求，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张最小？

　　解：设画面的高为xcm, 宽为λxcm，则。
　　所以纸张的面积为S=(x+16)(λx+10)=λx²+(16λ+10)x+160。
　　将代入上式得：。
　　，令y'=0得，它是唯一的极值点。
　　∴ 当时，S取得最小值，即当高为88cm，宽为时，能使宣传画所用的纸张最小。
　　当时，y'>0，所以，在时为增函数。
　　∴ 当时，能使宣传画所用的纸张面积最小。