高考选择题中的导数应用

概要：=0或，而r>0, ∴ 是其唯一的极值点。当时，V取得最大值，最大值为。 ∴ 应选A。 例2．（高考真题）已知函数y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围为（ ）。 A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、[2，+∞） 解：，由题意可知：y'<0在x∈[0,1]上恒成立， ∴ ，在x∈[0,1]上恒成立。 又a>0，∴ ，即，或在[0，1]上恒成立。 当时，由logae>0得a>1. 由2-ax>0得：在[0，1]上恒成立，而在[0，1]上的最小值为2，所以只需a<2。由上讨论可知1<a<2。 注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。 例3．（高考真题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角φ等于（）。 A、B、C、D、 解：设母线与底面夹角为α，则底面半径r=cosα，h=sinα，, ∴ , , 令V'=0, 得，而，∴ ，而它是唯一的极值点。 ∴ 当时，V取得最大值，此时，此时侧面展开图圆心角，应选D。 评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。

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　例1．（高考真题）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为（ ）。
　　A、　　B、　　C、　　D、

　　解：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l,
　　　　 ，
　　∵ V'=lπr-6πr², 令V'=0，得r=0或，而r>0,
　　∴ 是其唯一的极值点。当时，V取得最大值，最大值为。
　　∴ 应选A。

　　例2．（高考真题）已知函数y=log_a(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围为（ ）。
　　A、（0，1）　　B、（1，2）　　C、（0，2）　　D、[2，+∞）

　　解：，由题意可知：y'<0在x∈[0,1]上恒成立，
　　∴ ，在x∈[0,1]上恒成立。
　　又a>0，∴ ，即，或在[0，1]上恒成立。
　　当时，由log_ae>0得a>1.
　　由2-ax>0得：在[0，1]上恒成立，而在[0，1]上的最小值为2，所以只需a<2。
　　由上讨论可知1<a<2。

　　注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。

　　例3．（高考真题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角φ等于（　　）。
　　A、　　B、　　C、　　D、
　　解：设母线与底面夹角为α，则底面半径r=cosα，h=sinα，,
　　∴ , ,
　　令V'=0, 得，而，∴ ，而它是唯一的极值点。
　　∴ 当时，V取得最大值，
　　此时，此时侧面展开图圆心角，应选D。

　　评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。